Найдем закон дисперсии волны, локализованной вблизи границы раздела металл-воздух (“Поверхностные поляритоны” под ред. В.М.Аграновича иД.Л.Миллса, Москва “Наука”, 1985). Локализация означает то, что максимум поля достигается непосредственно на границе раздела двух сред (пронумеруем их числами 1 и 2), а при удалении от нее поле спадает по экспоненциальному закону.

Направим оси декартовой системы координат так, чтобы Ox и Oy лежали на границе раздела, т.е. z=0 соответствовало точкам границы. Предположим, что поверхностный плазмон-поляритон (ПП) распространяется вдоль Ox.

Будем искать решение в виде: (1), (2)

Рассмотрим два случая.

1. Поле E направлено вдоль оси Oy (TE-мода). Уравнения Максвелла накладывают ограничения на граничные значения E_1y, E_2y, H_1z и H_2z: (3)

Однако из одного из уравнений Максвелла следует:(4), что в случае скачка входит в противоречие с граничными условиями. Таким образом, поверхностного плазмона с TE-поляризацией на существует.

2. Поле E направлено вдоль оси Ox (TM-мода). Граничные условия в этом случае: (5), (6), что не противоречит уравнениям Максвелла.

Подставляя решение в виде локализованной ТМ-волны в уравнения Максвелла, получим условия: (7), (8)

Условие (1) выполняется только в случае, если диэлектрические проницаемости имеют разные знаки. В нашем случае ε ₁ = 1 (вакуум), а ε₂<0 (металл).

Также, из уравнений Максвелла получим, что: (9), (10).

Исключая из (7), (9) и (10) величины k₁ и k₂, получим закон дисперсии ПП: (11)

Используя базы экспериментальных данных для диэлектрической проницаемости серебра (например, http://refractiveindex.info/), поточечно построим закон дисперсии ПП на границе раздела серебро-воздух: (см. рис.1)

Также, можно построить закон дисперсии в модели диэлектрической проницаемости плазмы, используя экспериментальные данные для плазменной частоты серебра. Такое построение хорошо приближает вышеупомянутое и также засчитывалось как правильное при оценке решения задачи.

При появлении периодической модуляции поверхности металла (например, в виде сквозных щелей) ПП уже не может распространяться свободно – он претерпевает многочисленные отражения от щелей. Аналогично закону дисперсии электрона в кристалле, закон дисперсии ПП можно привести к первой зоне (12), аналогичной 1-ой зоне Бриллюэна в кристалле: см. Рис. 2

Для эффективного возбуждения ПП при нормальном падении света на модулированную поверхность необходимо, чтобы все отраженные от щелей волны ПП конструктивно интерферировали. В этом случае образуется стоячая волна, причем между щелями должно укладываться целое число плазмонных длин волн. На языке волновых векторов это условие записывается так (это условие называют условием фазового синхронизма): (13)

где G – т.н. вектор обратной решетки. Из рис. 2 видно, что это условие соответствует точкам пересечения закона дисперсии E(k_x) с осью ординат. Из графика получим, что длины волн, на которых возбуждение ПП (а значит и пропускание) будет наиболее эффективным, составляют λ = 1015 нм (E ≈1.23 эВ) до λ = 530 нм (E ≈2.4 эВ).

Рассмотрим подробнее резонанс λ = 530 нм. При ненормальном падении света на поверхность металла в условии фазового синхронизма появится еще один член, отвечающий за проекцию волнового вектора k₀ падающей волны на ось Ox: (14), где θ– угол падения. Знак означает, что ПП может распространяться как в направлении k₀, так и в противоположном. Осталось заметить, что ненулевой угол падения смещает положение резонансов – теперь они находятся не на пересечении k_x(E) и k(E)=0, а на пересечении k_x(E) и (15).

На рис. 3 изображено перемещение резонансов при угле падения θ=10^o.

Рассмотрим отдельно резонанс, реализуемый при условии: (17).

На рис. 3 при θ=10^o этот резонанс находится на E=2.1 эВ. Ранее мы выяснили, что при θ=0^oэтот резонанс находится на λ = 530 нм. При θ=60^o получим λ = 920 нм (E≈1.36 эВ), а значит, что путем изменения угла с 0^о до 60^о, свет, пропущенный благодаря этому резонансу, покрывает диапазон от зеленого до красного цвета, а также позволяет пропускать излучение ближнего ИК-диапазона.