Проблема Гольдбаха давно интересовала математиков. До недавнего времени, она входила в число открытых тем математики. До сих пор, эта проблема полностью не решена.
	Тернарная теория - любое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.
	Бинарная теория - любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
	Трудность состоит в том, что ряд простых чисел не составляет ни арифметическую, ни геометрическую прогрессию; поэтому найти единый алгоритм решения  довольно трудно. Некоторые математики утверждали, что единого алгоритма не существует. Но математика - точная наука и почти все гипотезы с течением времени становятся теоремами.
	Как человек, увлекающийся Олимпиадами (www.nanometer.ru), я попыталась найти решение.
	Для решения данной задачи, необходимо получить прогрессию  (арифметическую или геометрическую).  Проведя некоторые преобразования, я получила арифметическую прогрессию, с помощью которой возможно находить все слагаемые, минуя прямой пересчет. 

Тернарная теория - любое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел.
Для решения поставленной задачи, необходимо выразить само число и все слагаемые через одно число.
Для 2: 2=х_1, 3=х_1+1, 5=х_1+3, 7=х_1+5, 9=х_1+7, 11=х_1+9, 13=х_1+11, 15=х_1+13, 17=х_1+15, 19=х_1+17, 21=х_1+19, 23=х_1+21.
Для 3: 2=х_1-1, 3=х_1, 5=х_1+2, 7=х_1+4, 9=х_1+6, 11=х_1+8, 13=х_1+10, 15=х_1+12, 17=х_1+14, 19=х_1+16, 21=х_1+18, 23=х_1+20.
Для 5: 2=х_1-3, 3=х_1-2, 5=х_1, 7=х_1+2, 9=х_1+4, 11=х_1+6, 13=х_1+8, 15=х_1+10, 17=х_1+12, 19=х_1+14, 21=х_1+16, 23=х_1+18.
Для 7: 2=х_1-5, 3=х_1-4, 5=х_1-2, 7=х_1, 9=х_1+2, 11=х_1+4, 13=х_1+6, 15=х_1+8, 17=х_1+10, 19=х_1+12, 21=х_1+14, 23=х_1+16.
Составляем подобные выражения до числа 23 (для примера, ограничимся числом 23). 
Разложим числа 7,9,11 на три слагаемые.
Для 2=х_1 :7 = 2+2+3 или х_1+5=х_1+х_1+х_1+1 или х_1+5=3х_1+1
9=2+2+5 или х_1+7=х_1+х_1+х_1+3 или х_1+5=3х_1+3
9=3+3+3 или х_1+7=х_1+1+х_1+1+х_1+1 или х_1+5=3х_1+3
11=2+2+7 или х_1+9=х_1+х_1+х_1+5 или х_1+9=3х_1+5
11=3+3+5 или х_1+9=х_1+1+х_1+1+х_1+3 или х_1+9=3х_1+5
Подобным образом заполним таблицу. Для удобства дальнейших расчетом протягиваем арифметическую прогрессию.
Таблица.
| | х_1 = 2 | х_1 = 3 | х_1 = 5 | х_1 = 7 | х_1 = 9 | х_1 = 11 | х_1 = 13
1. | 7 = 2+2+3 | 3х_1+1 | 3х_1-2 | 3х_1-8 | 3х_1-14 | 3х_1-20 | 3х_1-26 | 3х_1-32

2.

9 = 2+2+5
9 = 3+3+3

3х_1+3

3х_1

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

3х_1-24

3х_1-30

3.

11 = 2+2+7
11 = 3+3+5

3х_1+5

3х_1+2

3х_1-4

3х_1-10

3х_1-16

3х_1-22

3х_1-28

4.

13 = 3+3+7
13 = 5+5+3

3х_1+7

3х_1+4

3х_1-2

3х_1-8

3х_1-14

3х_1-20

3х_1-26

5.

15 = 2+2+11
15 = 3+5+7
15 = 5+5+5

3х_1+9

3х_1+6

3х_1

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

3х_1-24

6.

17 = 2+2+13
17 = 3+3+11
17 = 5+5+7
17 = 7+7+3

3х_1+11

3х_1+8

3х_1+2

3х_1-4

3х_1-10

3х_1-16

3х_1-22

7.

19 = 7+7+5
19 = 3+3+13
19 = 5+3+11

3х_1+13

3х_1+10

3х_1+4

3х_1-2

3х_1-8

3х_1-14

3х_1-20

8.

21 = 2+2+17
21 = 3+5+13
21 = 5+5+11
21 = 7+7+7
21 = 7+3+11

3х_1+15

3х_1+12

3х_1+6

3х_1

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

9.

23 = 2+2+19
23 = 3+3+17
23 = 3+7+13
23 = 5+5+13
23 = 7+11+5

3х_1+17

3х_1+14

3х_1+8

3х_1+2

3х_1-4

3х_1-10

3х_1-16

Алгоритм решения.
1). Получили арифметическую прогрессию, начиная с х_1 = 3.
Разность арифметической прогрессии (по вертикали) d1=2.
Разность арифметической прогрессии (по горизонтали) d2=-6 (исключение составляет d2 (-3) между х_1 = 2 и х_1 = 3).
2). Одинаковые два или три слагаемые.
Рассматриваем горизонтальный ряд для числа 15. Для вычислений используем только вторые слагаемые. Получаем ряд: 9,6,0 (3х_1),-6,-12,-18,-24. 
Если отсутствует второе слагаемое, т.е. 0 (3х_1), то данное число раскладывается на три одинаковых слагаемых, каждое из которых равно х_1. 
| | х_1 = 2 | х_1 = 3 | х_1 = 5 | х_1 = 7 | х_1 = 9 | х_1 = 11 | х_1 = 13

15 = 2+2+11
15 = 3+5+7
15 = 5+5+5

3х_1+9

3х_1+6

3х_1

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

3х_1-24

В нашем случае, 15=5+5+5.
Если сумма второго слагаемого и х_1 равна простому числу, то данное число можно разложить на два одинаковых слагаемых ( равных х_1 ) и слагаемое, являющейся суммой второго слагаемого и х_1. То есть, получим два одинаковых слагаемых, равные х_1 и третье слагаемое (11=9+2).
| | х_1 = [2] | х_1 = 3 | х_1 = 5 | х_1 = 7 | х_1 = 9 | х_1 = 11 | х_1 = 13

15 = 2+2+11
15 = 3+5+7
15 = 5+5+5

3х_1+[9]
х_1+х_1+[х_1+9]=2+2+11

3х_1+6

3х_1

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

3х_1-24

В нашем случае, 15=2+2+11.
Если сумма второго слагаемого и х_1 не равна простому числу, то данную комбинацию пропускаем.
3). Все слагаемые разные.
Если сумма трех вторых слагаемых равна 0, то данное число можно разложить на три разных слагаемых.
| | х_1 = 2 | х_1 = 3 | х_1 = 5 | х_1 = 7 | х_1 = 9 | х_1 = 11 | х_1 = 13

15 = 2+2+11
15 = 3+5+7
15 = 5+5+5

3х_1+9

3х_1+6

3х_1 (0)

3х_1-6

3х_1-12

3х_1-18

3х_1-24

(+6)+0+(-6)=0. Это соответствует трем слагаемым х_1. х_1 = 3, х_1 = 5, х_1 = 7. Получаем: 15=3+5+7.
Вывод.  Любое нечетное число, больше 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел, рассматривая соответствующие арифметические прогрессии. Существует три варианта:
1). Три одинаковых слагаемых.
2). Два одинаковых слагаемых.
3). Три слагаемых разные.
Доказано.