1) Сумма углов произвольного n-угольника равна 1800 (n-2). Поскольку все углы правильного n-угольника равны, то alpha = 1800 (n-2) / n. Рассчитаем углы для разных n:
n=4, alpha = 900,
n=5, alpha = 1080,
n=6, alpha = 1200,
n=7, alpha ~ 128.570,
В шестиугольнике величина угла равна 120°, что точно соответствует углу между С–С связями. Образование четырехугольника не выгодно, так как отклонение угла от 120° наибольшее. Образование семиугольника не выгодно, так как угол больше 120° и он не может быть вписан в структуру, состоящую из шестиугольников. Поэтому единственным дополнением к шестиугольникам будет пятиугольник.
2) Соотношение Эйлера для выпуклого многогранника имеет вид: В+Г = Р + 2,
где В, Р и Г – количества вершин, ребер и граней соответственно. Пусть в произвольной замкнутой нанотрубке N пятиугольников и M шестиугольников. Тогда: Г = N+M,
B = (5N+6M)/3, деление на 3 возникает, т.к. каждая вершина принадлежит 3 граням.
H = (5N+6M)/2, деление на 2 возникает, т.к. каждое ребро принадлежит 2 граням.
НайдемN:
(5N+6M)/3 + (N+M) = (5N+6M)/2 + 2
5N/3 + 2M + N + M = 5N/2 + 3M + 2
8N/3 = 5N/2 + 2
N/6 = 2
N = 12
Тем самым мы доказали, что в произвольной замкнутой нанотрубке 12 пятиугольников.
3) 12 пятиугольников
4) B = (5N+6M)/3 = 60 (N=12)
(60+6M)/3 = 60
60 + 6M = 180
6M = 120
M = 20
5) Рассчитаем число атомов во втором члене ряда:
B = (5N+6M)/3 (N=12), M = 20 + 5 = 25, B = (5*12+6*25)/3 = 70
Для последующих членов ряда число атомов также возрастает на 10, следовательно, общая формула имеет вид: B = 60 + 10n
